Mathématiques

Les mathématiques générales sont souvent découpées en deux grandes parties qui sont l’algèbre et l’analyse.


L’algèbre correspond à la théorie des ensembles munis d’opérations (internes ou externes) que l’on appelle des structures algébriques ; celles-ci peuvent contenir des nombres mais elles peuvent également être constituées par d’autres objets mathématiques tels que des polynômes, des matrices ou encore des applications.


L’analyse est quant à elle basée sur les notions de fonction (réelle ou complexe d’une variable réelle ou complexe) et surtout de limites de fonctions. La notion de limite permet en effet de formuler rigoureusement les théories de la continuité des fonctions, de la dérivation des fonctions ou encore de leur intégration. L’analyse englobe également d’autres sous domaines plus récents comme, par exemple, la théorie des distributions ou l’étude des espaces fonctionnels.


Tandis que l’algèbre présente des applications importantes en géométrie, les outils de l’analyse permettent notamment de développer la théorie des probabilités.


Alors que la géométrie élémentaire se définit comme l’étude des propriétés des figures ou objets du plan et de l’espace, un aspect moderne de celle-ci étend également l’étude à d’autres types d’objets inclus dans des espaces plus abstraits. L’étude de structures géométriques peut utiliser aussi bien des concepts d’analyse que d’algèbre.


Enfin, les probabilités, avec les statistiques, constituent deux sciences distinctes mais complémentaires qui s’intéressent au hasard et aux phénomènes aléatoires. Dans ces phénomènes, la théorie des probabilités va permettre d’estimer la chance qu’a un événement de se produire alors que la statistique consiste à étudier les données afin de caractériser la loi qui gouverne le hasard.


Les frontières entre ces grandes parties sont cependant floues et il existe beaucoup de domaines transversaux qui mélangent analyse, algèbre et géométrie. Notons par exemple la théorie des nombres qui généralise l’arithmétique élémentaire et qui utilise aussi bien des méthodes d’algèbre que d’analyse pour résoudre certains problèmes. La théorie des probabilités modernes est également basée à la fois sur des concepts algébriques comme les notions de tribus et d’espaces probabilisés et aussi analytiques comme les éléments de la théorie de la mesure et de l’intégration.



Une découpe possible des mathématiques académiques au niveau agrégation est la suivante :

Algèbre et Géométrie

– Algèbre linéaire

– Théorie des groupes

– Anneaux, corps et polynômes

– Formes bilinéaires et formes quadratiques

– Géométrie affine et géométrie euclidienne

– Théorie des représentations de groupes

- Géométrie projective



Analyse et Probabilités

– Analyse à une variable réelle

– Analyse à une variable complexe

 – Topologie

– Théorie de la mesure et de l’intégration

– Calcul différentiel

– Théorie des probabilités

– Calcul au sens des distributions

– Calcul numérique

Brève présentation des mathématiques au lycée section générale

Seconde générale

Les élèves de seconde pourront consolider les notions sur les fonctions déjà introduites au collège ; ils auront l’occasion de se familiariser avec les concepts de sens de variation d’une fonction et d’extremum. On leur fournira une panoplie de fonctions de référence qu’ils pourront se représenter graphiquement et algébriquement. Le nouveau programme prévoit, en seconde générale, une initiation à la pratique du calcul algébrique et on donnera aux élèves plusieurs notions sur les différents ensembles de nombres. L’arithmétique des entiers sera abordée. Les élèves apprendront à manipuler les vecteurs dans le plan et à utiliser ceux-ci afin de résoudre des problèmes géométriques. On caractérisera les droites du plan et la géométrie repérée sera abordée ; celle-ci fait intervenir des concepts algébriques et analytiques. L’exploitation des données par la statistique sera introduite essentiellement en seconde générale grâce aux chapitres sur les informations chiffrées et les statistiques descriptives. Ceux-ci viendront compléter les connaissances acquises au collège. Pour les probabilités, les élèves apprendront à modéliser le hasard à partir de modèles théoriques simples tels que l’équiprobabilité. Une insistance particulière sera faite sur la distinction entre modèles et réalité. Les questions en rapport avec l’échantillonnage seront aussi étudiées en lien avec les algorithmes.

Première Option Maths

L’étude des fonctions se poursuivra dans l’option maths de première où d’autres fonctions usuelles comme les fonctions polynomiales du second degré ou la fonction valeur absolue seront introduites. Les élèves étudieront aussi les fonctions fondamentales cosinus, sinus et exponentielle. C’est aussi en première que les lycéens seront initiés à la dérivation des fonctions et à son utilisation. Les suites numériques et les cas particuliers des suites arithmétiques et géométriques seront aussi présentés d’un point de vue algébrique. Toujours au niveau première, les lycéens apprendront à résoudre des équations et des inéquations du second degré, ainsi que divers problèmes pouvant s’y ramener. L’étude de la géométrie repérée dans le plan se poursuivra en option maths où la description des cercles et des paraboles sera notamment abordée. Cette dernière s’enrichira par l’introduction du produit scalaire de deux vecteurs permettant de traiter le concept d’orthogonalité et d’adopter un point de vue métrique. L’étude de la théorie des probabilités est approfondie en classe de première avec les probabilités conditionnelles ainsi qu’une approche d’une application importante : les variables aléatoires réelles.

Terminale Spécialité Maths

L’analyse sera toujours présente, et même prépondérante, dans la spécialité maths de terminale. La notion de limite y est introduite, aussi bien concernant les suites numériques que pour les fonctions réelles, et cela permettra ensuite d’aborder la notion de continuité. La fonction logarithme népérien sera également étudiée. Enfin, les derniers chapitres permettront aux élèves d’élargir leurs connaissances en analyse et porteront sur les équations différentielles, les primitives et le calcul intégral. La combinatoire sera aussi étudiée dans la spécialité maths et les élèves pourront se familiariser avec certaines notions ensemblistes. Le lien entre algèbre et géométrie s’accentuera aussi lors de l’étude de la géométrie dans l’espace : certains systèmes d’équations et des notions d’algèbre linéaire sur les vecteurs (combinaisons linéaires, familles libres et espace engendré) seront vues, préparant ainsi les étudiants pour leurs études supérieures. Les objets géométriques tels que les vecteurs, les droites et les plans seront étudiés dans l’espace et les notions d’orthogonalité et métriques, basées sur le produit scalaire, sont généralisées à l’espace. Cela permettra aux étudiants de résoudre certains problèmes de configurations géométriques dans l’espace portant, par exemple, sur les solides vus au collège. Finalement, différents systèmes d’équations servant à définir et caractériser les droites et les plans seront étudiés en détail. Pour les probabilités, les sommes de variables aléatoires et le schéma de Bernoulli seront introduites en spécialité maths de terminale.

Maths Expertes en Terminale

L’option mathématiques expertes de terminale fournit à l’étudiant une ouverture sur des domaines fondamentaux d’algèbre. Les nombres complexes sont abordés d’un point de vue algébrique et aussi géométrique. Des notions plus avancées sur les polynômes à une indéterminée réelle ou complexe seront aussi étudiées. Les élèves pourront également retrouver l’arithmétique des nombres entiers (divisibilité, PGCD et nombres premiers) introduite au collège. Enfin, une familiarisation à l’algèbre linéaire et, en particulier, à la théorie des matrices est également au programme ainsi qu’une initiation à la théorie de graphes.

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